Multimodularity, Convexity, and Optimization Properties

We investigate in this paper the properties of multimodular functions. In doing so we give alternative proofs for properties already established by Hajek, and we extend his results. In particular, we show the relation between convexity and multimodularity, which allows us to restrict the study of multimodular functions to convex subsets of Z m. We then obtain general optimization results for average costs related to a sequence of multimodular functions. In particular, we establish lower bounds, and show that the expected average problem is optimized by using balanced sequences. We nally illustrate the usefulness of this theory in admission control into a D/D/1 queue with xed batch arrivals, with no state information. We show that the balanced policy minimizes the average queue length for the case of an innnite queue, but not for the case of a nite queue. When further adding a constraint on the losses, it is shown that a balanced policy is also optimal for the case of nite queue. into a queue. Gaujal is a member of a common project between CNRS, UNSA and INRIA. RRsumm : Dans cet article, nous nous inttressons aux propriitts des fonctions multimo-dulaires. Ce faisant, nous montrons de nouvelles preuves des propriitts tablies par Hajek et nous tendons certains de ses rrsultats. En particulier, nous montrons la relation qui existe entre multimodularitt et convexitt qui nous permet d''tudier la multimodularitt sur des parties convexes de Z m. Ensuite, nous obtenons des rrsultats ggnnraux d'optimisation pour le coot moyen d'une suite de fonctions multimodulaires. En particulier, on exhibe des bornes inffrieures et on montre qu'elles sont atteintes pour les suites quilibrres. Finale-ment, on illustre l'utilitt de cette thhorie pour le contrrle d'admission dans une le D/D/1 avec des arrives par paquets de taille xe, sans information. On montre que la politique quilibrre minimise la longueur moyenne de la le pour une capacitt innnie mais pas dans le cas d'une le capacitt nie. Dans ce cas, Si l'on ajoute une contrainte sur les pertes, on montre aussi qu'une politique quilibrre est optimale.